Abstract

مقدمه

بسیاری از مواقع در رشته‌های مختلف علوم؛ از جمله مهندسی، اقتصاد و... ضرورت احساس میشود که برای بیان مسایل معینی یک مودل ریاضی ساخته شود. اغلب این مودل‌های ریاضی شامل معادلات یک متحولۀ وابسته و مشتقاتش نیست، یک یا چند متحول مستقل اند چنین معادلات را معادلات تفاضلی می‌نامیم. هدف اساسی این مقالۀ پژوهشی، ارایۀ روش‌های عددی برای حل این نوع معادلات است؛ زیرا برخی از معادلات دیفرانسیل معمولی، دارای حل تحلیلی نمی‌باشد (Hale, 1993). مانند معادلۀ پرتاب ماهواره.

بسیاری از قوانین عمومی طبیعت، در فزیک، کیمیا، زیستشناسی، نجوم وغیره طبیعی‌ترین بیان خود را در زبان معادلات ‌دیفرانسیل می‌یابند. کاربردهای معادلات‌ دیفرانسیل، در خود ریاضیات، خصوصاً در هندسه فراوان است. این برگه‌های پژوهشی شامل سه بخش عمده می‌باشد بخش اول این مقاله، روش اویلر بخش دوم، روش عددی رنج‌کوتا برای حل عددی معادلات‌ دیفرانسیل ‌معمولی و بخش اخیر آن به نتیجه‌گیری میانجامد.

روش اویلرEuler Method

معادلۀ زیر شکل عمومی یک معادلۀ دیفرانسیل‌ معمولی مرتبۀ اول است.

از تعریف مشتق می‌دانیم که:

از مقایسه‌ی روابط (2) و (3) می‌توان نوشت؛

اگر فاصله بین گام‌ها مساوی باشد، یعنی  که  نشان دهندۀ تعداد گام‌ها است، آن‌گاه می‌توان نوشت:

و طور خلاصه نیز می‌توان نوشت (Acton, 1970; Lambert, 1973).

مسأله‌‌ی1: حل عددی معادلۀ دیفرانسیل زیر را با شرایط اولیه‌ی  با استفاده از روش اویلر، در طی 10 ثانیه اول بیابید.

حل1: بادرنظرداشت رابطۀ (4) خواهیم داشت:

دراین مسأله، پاسخ‌ها به اساس قیمت‌های  باهم مقایسه و برای دریافت قیمت تابع  در نرم‌افزار مطلب به‌صورت زیر دریافت می‌شود.

Clear all

Clc

>> h=0.5; % sampling period, you can change it to 0.1 or 0.01

>> t=0: h: 10; % time

>> x=zero (1, length (t));

>> x=zeros (1, length (t));

>> x (1)=1;% initial point

>> For n=1: length (t)-1

>> x(n+1)=x(t)+h*(-x(n)^3+x(n)*sin(2*t(n)));

     >> end

>> plot (t, x, 'b')

شکل1: نشان دهندۀ حل معادلۀ دیفرانسیل به روش اویلر.

روش رنج‌کوتاRunge Kutta Method

این روش را به‌نام روش رنج‌کوتا[1] مرتبه 4 نیز یاد می‌نمایند.

شکل2: نشان دهندۀ تعبیر هندسی روش رنج‌کوتا.

منبع: (Rosli, 2013)

از شکل 2 می‌توان روابط زیر را استنتاج کرد.

که قیمت‌های هر یک از مرحلۀ آن مساویست به:

توابع موجود برای حل عددی معادلۀ دیفرانسیل در نرم‌افزار مطلب مانند ODE23  و ODE45 از روش بالا با اندک تغیرات می‌توان استفاده کرد (Gear, 1971; Stoer, et al., 1980; Baker, 2000).

مسألۀ2: حل عددی معادلۀ دیفرانسیل زیر را با شرایط اولیه  با استفاده از روش رنج‌کوتاه در طی 10 ثانیه اول بیابید و با هم مقایسه نمایید.

تابع در آن به‌صورت زیر تعریف شده است.

شکل3 مقایسه‌یی بین پاسخ به‌دست آمده از روش اویلر و رنج‌کوتا همراه با جواب واقعی معادله را نشان می‌دهد.

شکل3: نشان دهندۀ حل عددی معادلۀ دیفرانسیل، به روش اویلر و رنج‌کوتا.

حل معادلات مرتبۀ عالی Solving of Higher Order Equations

                با استفاده از نمایش وکتوری، می‌توان معادلات دیفرانسیل مرتبۀ عالی از روش رنج‌کوتا و اویلر نیز حل نمود. البته این تغییر نمایش معادله، قابل تبدیل به‌مسألۀ مرتبۀ اول را داشته باشد، به‌عنوان مثال مسألۀ آونگ هنگام حضور اصطکاک را درنظربگیریم، متحول‌های جدید به‌شکل زیر به‌وجود می‌آید ( لابرت 1980، ستورو و همکاران 1971 و لاپیدوس و همکاران 1973).

به‌اساس رابطۀ بالا و رابطۀ آونگ، معادلۀ دیفرانسیل مرتبۀ اول به‌صورت زیر به‌وجود می‌آید:

شکل4: نشان دهندۀ رها شدن آونگ از زاویۀ  با سرعت اولیه.

 اکنون با استفاده از روش رنج‌کوتا با طول گام   به‌حل مسأله می‌پردازیم.

که در آن

شکل5 نمودار  را که در واقع مقادیر  اند را نشان می‌دهد.

شکل5: نمایان‌گر معادلۀ دیفرانسیل حرکت آونگ.

نتیجه‌گیری

برای حل معادلۀ دیفرانسیل معمولی، بر علاوۀ حل تحلیلی؛ حل عددی نیاز مبرم است، زیرا برخی از معادلات دیفرانسیل‌ معمولی حل تحلیلی ندارند؛ مانند معادلات (1). از شکل3 برمی‌آید مناسب‌ترین روش عددی برای حل معادلات، روش رنج‌کوتا‌ست زیرا منطبق به حل واقعی می‌باشد. هم‌چنان روش‌های  برای حل معادلات مرتبه عالی از اهمیت ارزنده‌یی برخورد دار است و نتایج نشان می‌دهد که تقارب روش عددی رنج‌کوتاه 1.0 و از اویلر 0.5 می‌باشد.